전하 캐리어 역학 : 과잉 캐리어

 지금까지 반도체 내 캐리어 거동 등의 특성을 논의할 때는, 암묵적으로 열평형 상태를 가정하였다. 그러나 만약 평형 상태의 반도체에 외부에서 캐리어가 주입되거나, 외부 광원 등에 의해 반도체의 열평형이 깨지는 상황에서는 다른 방식으로 해석해야 한다.

 

 이 과정에서 중요한 것이 캐리어의 생성과 소멸이다. 생성과 소멸은 항상 쌍으로 진행되며, 열평형 상태에서는 생성률과 소멸률이 같다.

 과잉 캐리어가 존재할 때는 좌측과 같이 표현하며, 시간에 대한 함수이다.

과잉 전자농도(=정공농도) 의 순 변화율을 위와 같은 식으로 나타낼 수 있다. 앞 항은 열평형 상태의 생성률, 뒷 항은 소멸률이라고 보면 되며, 평형상태에서 두 항이 소거되어야 하니 같은 계수가 붙는다. 그러나 생성률은 언제나 일정하며 Intrinsic electron 의 제곱과 동치인 식이므로 온도에 의존하지만, 소멸률은 현재 캐리어의 농도와 연관된다

위 식을 전개한 후, Low-level injection (주입 캐리어의 양이 열평형 다수캐리어보다 매우 작은 상황) 조건을 적용하여 식을 정리하면

간단한 1차 미분방정식으로 나오며, 이를 정리하여 소수 캐리어 수명  tau 를 구할 수 있다.

과잉 캐리어의 수를 소수 캐리어의 수명으로 나누면, 캐리어의 재결합률을 구할 수 있다.

 

 

< Ambipolar Transport >

 

 a. 연속방정식

 

 반도체 내 단위체적을 잡고, 진행 방향 x 를 설정할 때 x 로의 미분값이 양수이면, 빠져나가는 흐름이 강한 것이므로 체적 내 입자의 농도는 줄어들고 반대로 미분값이 음수이면 입자 농도는 늘어난다. 여기에 생성과 소멸을 고려하면 아래와 같은 식이 유도된다

b. 시간의존 확산 방정식

 

 입자 흐름에 대한 식을 얻기 위해, 전자밀도와 전류밀도에 대한 식을 나누는 것부터 계산을 취한다

최종적으로 얻어지는 식은, 과잉 캐리어와 전체농도에 및 전기장에 대한 항만을 포함한다.

 

c. Ambipolar Transport

 

 과잉 정공과 과잉 전자는 대전입자들이므로, 여기된 과잉 정공과 전자가 다른 방향으로 진행한다면 서로간에 전기적 인력이 작용할 것이다. 이는 내부 전계를 형성시키고, 이 전계는 전자와 정공의 펄스를 묶어 줄 것이다. 결과적으로 과잉 캐리어는 공통된 유효 이동도를 가지고 드리프트 혹은 확산을 하는 현상이 생기는데, 이를 앰비폴러 전송이라고 한다.

 

 시간의존 확산 방정식에서 전계 항을 지워 캐리어 농도의 항만 남기기 위해, 각각 mobility x density 를 크로스로 곱한 후 더해준다

식이 깔끔하게 정리되면서 전계와 관련된 항, 캐리어 농도의 2계미분과 확산계수와 관련된 항이 남는다.

 

위 식을 앰비폴러 전송방정식이라고 하고, 각 상수를 앰비폴러 이동도 및 확산계수라고 한다. 앰비폴러 확산계수 식은 아인슈타인 관계식을 사용하여 이동도를 확산계수 로 바꿨다. p형 반도체 기준으로, 값들이 소수캐리어의 계수값에 의존하는 것을 확인할 수 있다.

위 그림에서 과잉 캐리어의 형성이 소수 캐리어에 영향을 훨씬 더 많이 준다는 것을 직관적으로 확인할 수 있다. 이때 미분방정식을 계산하면, 과잉캐리어가 공간에 exponential 하게 의존하여 감소한다는 것을 알 수 있다. 시간이 지나면서 과잉 캐리어는 재결합과 확산을 동시에 하는데, 전계가 걸린 상황에서 과잉 캐리어의 정성적인 움직임을 오른쪽 그림에 나타내었다. 과잉 다수 캐리어는 같은 형태를 띄면서 소수 캐리어의 거동에 '끌려간다'

 

+) 유전 완화 시정수

 정공 혹은 전자가 표면으로 대량 주입될 때, 일시적으로 전하 중성조건은 충족되지 않는다. 이런 경우 전하가 중성상태로 변하는 과정은 시간에 지수적으로 의존하며, 이때 시상수를 유전 완화 시정수라고 한다

 

 

<유사 페르미 준위>

 

과잉캐리어가 생성될 때는 이미 열평형이 깨진 상태이며 페르미 에너지를 정의할 수 없지만, 전자와 정공의 농도를 페르미 식으로 설명할 수 있도록 하는 유사 페르미 준위를 설정할 수 있다. 이때 전자와 정공의 유사 페르미 준위는 분리된다.

 그림에서 다수 캐리어의 유사 페르미 준위는 크게 변하지 않지만, 소수캐리어의 유사 페르미 준위는 크게 달라지는 것에 유의한다.

 

<과잉 캐리어 수명>

 

 과잉 전자와 정공의 재결합률은 소자 특성에 중요한 영향을 미친다. 재결합률은 평균 캐리어 수명에 반비례하며, 우리는 평균 캐리어 수명을 하나의 파라미터로 가정하였다. 

 

Shockley-Read-Hall 이론

 

 반도체 물질의 주기성은 이상적인 가정이며, 실제 반도체 결정 내에는 수많은 결함들이 존재하고 이 결함들은 금지대 내에 에너지 준위를 발생시킨다. 이 허용 에너지 준위를 trap 준위라고 하며, 평균 캐리어 수명에 지배적인 영향을 미친다.

trap 준위는 위와 같이 4가지 동작을 취하며, trap 에 전자가 존재할 확률은 전도대의 전자와 빈 트랩준위 밀도와 비례하는

위 식으로 표현된다. 평균 수명은 열평형상태에서 계산되므로, 열평형 상태에서 포획률과 방출률이 같다는 사실로부터 출발해 재결합률을 계산하면 아래와 같은 식이 나온다

n' 파라미터는 trap 준위가 fremi level 과 같다면 전도대의 전자농도와 같은 값이 된다. 과잉 캐리어 수명은 캐리어 양에 비례하고 R에 반비례하므로, 다른 파라미터가 일정할때 트랩 농도와 수명이 반비례한다는 것 정도를 간단하게 인지할 수 있다. 또한 n형 물질에서 수명은 소수 캐리어의 포획률 Cp 와 반비례 관계에 있다 - 저주입 하에서 다수캐리어의 수명은 소수캐리어의 수명과 같다.

 

 

+ 표면 효과

격자 주기가 끝나는 표면에서는  trap 준위가 bulk 반도체 내부보다 훨씬 많다. Shockly Read Hall 이론에 따라 캐리어 수명은 트랩 농도에 반비례하는데, Bulk 전체에서 캐리어가 일정한 비율로 생성된다면 표면으로 갈수록 과잉 캐리어의 양은 줄어들게 된다. 결과적으로 위와 같이 과잉 캐리어는 표면으로부터 거리의 함수로 나타난다

 

 과잉 캐리어가 위와 같은 구조를 지니면 bulk 내부에서 표면 쪽으로 캐리어가 확산해 재결합하게 된다. 이를 확산식에 대입하여 표면 재결합 속도(surface recombination velocity) 라는 파라미터를 구할 수 있고, 이는 표면특성에 대한 정보를 제공해 준다.

 

 

# 이미지는 Neaman, Semicondoctor physics and Devices #2 에서 참고하였습니다

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Notion

* 반도체 내 과잉 캐리어는 생성과 재결합의 과정을 거치고, 특히 과잉캐리어가 양수일때 재결합이 중요한 변수로 작용한다.

* 과잉 캐리어는 시간이 지남에 따라 재결합/확산의 과정을 거친다. 그래프 형태를 참조하여 직관적으로 이해하면 좋다

* 과잉 캐리어는 전자와 정공이 시정수 이후 같은 양을 가지며, 두 캐리어 사이 전기적인 인력이 작용하여 Ambipolar 전송특성을 띈다

* Ambipolar 전송식에 따라 과잉캐리어의 거동은 소수캐리어의 특성에 의존한다

* Shockly-Read-Hall 이론에 따라, 재결합률은 트랩밀도에 비례하며, 수명은 재결합률에 반비례하고 과잉캐리어 농도에 비례한다