전하 캐리어 역학 : 진성 반도체와 도핑

 도체는 '전하의 바다' 라고 불리기도 한다. 그만큼 수많은 자유전자가 전하 수송에 관여한다. 부도체는 당연히 이런 전하 수송자가 거의 없다시피 한다.

 반도체가 온도에 따라 전도특성이 극적으로 변할 수 있는 이유는, 도체나 부도체와 다르게 반도체에선 이 전하 수송자의 수가 극적으로 변할 수 있기 때문이다. 그렇다면 이런 캐리어는 어떤 원리로 형성되어서 전류에 기여할까?

 

 

열평형상태의 Carrier Concentration

 

 밴드이론에서 보았듯이, 전하의 수는 가전자대의 Denstity of State 에 Fermi distribution function 을 곱한 것이다. 전자와 정공을 나누면

중심에서 벗어난 부분에서, 페르미 확률분포는 볼츠만 근사로 처리될 수 있다. 이를 통해 

 위 유도과정으로 열평형 상태의 전자농도와 정공농도를 구할 수 있다. 위 식으로부터

 

* Fermi level 과 Conduction/Valence band 사이의 에너지 차이와 농도는 Exponential 하게 비례한다 (kT의 2배 차이면 1/10으로 줄어듦)

* 유효질량의 3/2 승에 비례한다. 유효질량이 클수록(k diagram 곡률이 높을수록) 캐리어 농도는 높다

 

등의 사실을 유추할 수 있다. 또한 위 식에서 지수 이외의 상수항을 '유효상태밀도함수' 라 한다

또한 위 식에서부터 진성반도체의 페르미 준위 식을 얻을 수 있다.

유효질량이 같으면 midgap, p가 크면 conduction band 쪽에 위치한다

 

 

도펀트 원자와 에너지 준위

 

 현재까지 도핑되지 않은 순수 반도체 (Intrinsic) 을 다뤘다. 하지만, 대부분의 경우 우리는 외인성반도체 (extrinsic) 으로, 불순물을 사용하여 전기적 특성을 크게 변화시킨다. 

 먼저 Donor 원자를 생각하면, Si 에 Phosphorous 를 도핑하였을 때 Si 와 공유결합하지 못한 원자는 느슨하게 결합한 상태로 남고, 이 전자에 약간의 에너지만 가해진다면 이 전자는 전도전자가 될 수 있다. 이때 이온화 에너지는 매우 낮아, 상온에서 대부분의 도너들이 이온화된다. (그러나 activate 비율 때문에 실제 공정에서 이온화 비율은 이보다 낮다)

 

doping 된 에너지 밴드 내에서 Carrier concentration

이를 수학적으로 다시 해석해 볼 수 있는데, 도핑이 가해지면 변하는 electron 의 수를 Fermi Energy 의 변화의 관점으로 볼 수 있다.

페르미 준위가 변하면서 열평형 전자농도가 '뚱뚱해' 지고, 그만큼 정공 농도는 줄어들거나 반대로  전자가 줄어들고 정공이 늘어난다

정량적으론 위와 같이 표현되어, 기존 Intrinsic Fermi level 에서 벗어난 정도 (도핑농도 등의 변수) 에 따라 열평형 상태의 캐리어 농도가 변함을 알 수 있다. 여기서 ni 와 pi 는 같고 (전도전자가 빠져나온 자리가 정공이기에), 두 변수를 곱하면 그 곱은 일정하다.

 

- 축퇴 현상 (degeneration)

농도가 낮을 때는 불순물 간의 간섭은 무시할 수 있어, 밴드 상의 개별 에너지 레벨로 존재한다. 그러나 불순물 간의 거리가 가까워진다면 에너지 준위들이 간섭하여 밴드구조를 이루고, 이 밴드가 확장되어 전도대 하단과 겹칠 수 있다. 이 상태를 축퇴라고 한다. 

축퇴된 상태에서는 볼츠만 근사가 불가능하고, Fermi-Drac 적분으로 농도를 계산한다. Si 의 경우 10^19부터 상호작용을 시작한다

 

 

- 확률함수

 

훈트의 규칙에 의해, 각 도너 준위에는 먼저 스핀 업이 채워지고, 스핀 다운 전자는 다른 도너 준위들이 채워지기 전에 채워지지 않는다.

이런 특성으로 인해, 도너 준위에서 전자의 확률함수는 단지 그 에너지 레벨에서 페르미 확률함수와 같지 않다. 대신, 아래와 같은 변형 식으로 채워진다 (Nd 는 에너지 준위의 수이고, 비 축퇴 상태에서 총 도너상태를 차지하는 전자의 확률 함수이다)

이때 g 는 축퇴인자 (degeneracy factor) 로, 위 설명에 의해서 2 가 되어야 하지만 실제 밴드구조 등 변수로 Si 와 GaAs 의 경우 4에 해당하는 값이 나온다.

 

 

 

- 보상 반도체

 보상 반도체는 p형 반도체에 n형 불순물을 확산하거나, 그 반대의 과정을 거쳐 p형과 n형에 반대 타입 불순물이 섞여있는 것을 말한다.

소자를 제작하는 동안, 많은 도핑 영역은 보상 반도체로 형성된다.

p형의 경우엔 Na 와 Nd 의 자리를 바꾸면 된다. 일반적인 상황에서 intrinsic 전자농도는 무시할 만 하기에 도핑농도 차이로 주어지나,

진성캐리어 농도의 온도 의존성 때문에 온도가 높아진다면 도핑특성을 잃어버릴 수 있다. 페르미 준위의 변화로도 이를 표현하였다

 

- 페르미 에너지

 위 표는 도핑, 온도 등등에 대한 페르미 준위의 표를 대부분 표현해주고 있다. 볼츠만 근사로 구한 캐리어 농도 식에서, 캐리어 농도를 도너와 억셉터에 대한 식으로 나타낸 후 양변에 로그를 취하면 페르미 에너지를 구할수 있다

간략한 개형

 

# 대부분의 이미지는 Neaman, Semicondoctor physics and Devices #2 에서 참고하였습니다

---

Notion

* 축퇴된 반도체는, 볼츠만 근사가 성립하지 않기에 위 과정을 대부분 다시 계산하여야 한다

* 진성캐리어 농도는 유효질량과 비례하고, 페르미 에너지와 지수적으로 비례한다

* 진성캐리어는 10^10 언저리, 도핑은 낮아도 1000 배 이상이기에 캐리어 농도는 도핑농도에 비례한다

* 도핑 시에는 도핑 준위가 Conduction band 바로 아래 / Valence 바로 위에 형성된다

* 페르미 준위는 온도 의존적이다 (높아질수록 중앙으로 모인다 - 중앙에서 벗어날수록 carrier 특성 우수)